Tensorvermenigvuldiging

In de quantummechanica werken we vaak met samengestelde systemen. Dat wil zeggen, systemen die uit meerdere deeltjes bestaan met elk hun eigen vrijheidsgraden (bijv. plaats, impuls, spin, etc.). Hoe zien de toestanden van zo'n samengesteld systeem eruit? Hoe zorgen we ervoor dat we operatoren op de juiste manier toepassen op deze toestanden? Om deze vragen te beantwoorden maken we gebruik van tensorvermenigvuldiging.

Als voorbeeld beschouwen we een spinsysteem bestaande uit twee spin \(\frac{1}{2}\) deeltjes: \(S_1=S_2=\frac{1}{2}\). De toestanden voor elk van de individuele deeltjes zijn:

\[ \ket{\psi_1} = \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ \end{pmatrix} = a_1\ket{\uparrow} + a_2\ket{\downarrow} \]

\[ \ket{\psi_2} = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \end{pmatrix} = b_1\ket{\uparrow} + b_2\ket{\downarrow} \]

Let op

We maken hier gebruik van de standaardnotatie \(\ket{\uparrow}\) voor \(m=+\frac{1}{2}\) en \(\ket{\downarrow}\) voor \(m=-\frac{1}{2}\).

Om deze twee spins samen te voegen tot één systeem gebruiken we tensorvermenigvuldiging. Hierbij geldt de volgende definitie.

Definitie

Algemeen geldt voor twee vectoren \(\bf{a}\) en \(\bf{b}\), elk met lengte 2:

\[ \bf{a} \otimes \bf{b} = \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} a_1 {\bf b} \\ a_2 {\bf b} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 b_1\\ a_1 b_2\\ a_2 b_1\\ a_2 b_2\\ \end{pmatrix} \]

Nemen we het tensorproduct van \(\ket{\psi_1}\) en \(\ket{\psi_2}\), dan vinden we:

\[ \ket{\psi} = \ket{\psi_1}\otimes\ket{\psi_2} = a_1 b_1 \ket{\uparrow\uparrow} + a_1 b_2 \ket{\uparrow\downarrow} + a_2 b_1 \ket{\downarrow\uparrow} + a_2 b_2 \ket{\downarrow\downarrow} \]

Let op

De notatie \(\ket{\uparrow\downarrow}\) betekent nu: \(m_1 = +\frac{1}{2}\), \(m_2 = -\frac{1}{2}\), etc.

We hebben nu dus de twee vectoren met lengte 2 samengevoegd tot één vector met lengte 4. De keuze om \(\ket{\psi_1}\) links te zetten in het tensorproduct en \(\ket{\psi_2}\) rechts is willekeurig; we hadden evengoed kunnen werken met \(\ket{\psi_2}\otimes\ket{\psi_1}\). Maar is de keuze eenmaal gemaakt, dan is het zaak om de volgorde consequent door te voeren. Doen we dat niet, dan gaat het onherroepelijk mis bij het opstellen van de operatoren.

Ook matrices (dus operatoren) kunnen we samenvoegen met tensorvermenigvuldiging. Hierbij maken we gebruik van de volgende definitie.

Definitie

Algemeen geldt voor twee \(2 \times 2\) matrices \(\hat{A}\) en \(\hat{B}\):

\[ \hat{A}\otimes\hat{B} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \\ \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} A_{11}\hat{B} & A_{12}\hat{B} \\ A_{21}\hat{B} & A_{22}\hat{B} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{11}B_{11} & A_{11}B_{12} & A_{12}B_{11} & A_{12}B_{12} \\ A_{11}B_{21} & A_{11}B_{22} & A_{12}B_{21} & A_{12}B_{22} \\ A_{21}B_{11} & A_{21}B_{12} & A_{22}B_{11} & A_{22}B_{12} \\ A_{21}B_{21} & A_{21}B_{22} & A_{22}B_{21} & A_{22}B_{22} \\ \end{pmatrix} \]

Stel, de twee spins zijn aan elkaar gekoppeld door Heisenberg interactie. In dat geval bevat de Hamiltoniaan een term van de vorm:

\[ \hat{\bf S}_1\cdot\hat{\bf S}_2 = \hat{S}_x^{(1)}\hat{S}_x^{(2)} + \hat{S}_y^{(1)}\hat{S}_y^{(2)} + \hat{S}_z^{(1)}\hat{S}_z^{(2)} \]

Nu kunnen we de eerste term in bovenstaande uitdrukking als volgt opstellen.

\[ \hat{S}_x^{(1)}\hat{S}_x^{(2)} = \hat{S}_x \otimes \hat{S}_x = \frac{\hbar^2}{4} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} = \frac{\hbar^2}{4} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \]

In de tweede stap hierboven kunnen we de superscripts \((1)\) en \((2)\) weglaten. Het feit dat een operator links (resp. rechts) van het \(\otimes\)-symbool staat betekent nu per definitie dat het om \(S_1\) (resp. \(S_2\)) gaat; dat hadden we immers zo afgesproken bij het opstellen van de gezamenlijke toestand \(\ket{\psi}\).

We hebben nu een \(4 \times 4\) matrix gevormd die rechtstreeks kan werken op de gecombineerde toestandsvector met lengte 4 die we eerder hebben geconstrueerd.

Voorbeeld

Stel, we willen de \(\hat{S}_z^{(1)}\hat{S}_z^{(2)}\) operator laten werken op de \(\ket{\uparrow\downarrow}\) toestand. Dan doen we feitelijk dit:

\[ \hat{S}_z^{(1)}\hat{S}_z^{(2)}\ket{\uparrow\downarrow} = \left( \hat{S}_z \otimes \hat{S}_z \right) \left( \ket{\uparrow} \otimes \ket{\downarrow} \right) = \frac{\hbar^2}{4} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} = \frac{\hbar^2}{4} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} = -\frac{\hbar^2}{4}\ket{\uparrow\downarrow} \]

De matrices die voortkomen uit tensorvermenigvuldiging kunnen er rommelig uitzien. Zeker bij grotere matrices herken je de oorspronkelijke operatoren er vaak niet meer in terug. Maar dat geeft niets. Zolang we zorgvuldig te werk gaan en de gekozen volgorde consequent hanteren, kunnen we ervan uitgaan dat de linker operator nu automatisch op de subruimte van \(\ket{\psi_1}\) werkt en de rechter operator op de subruimte van \(\ket{\psi_2}\).

Tot nu toe hebben we gekeken naar operatoren die werken op beide spintoestanden tegelijk. Maar wat als je een operator wil laten werken op slechts één van de twee spins? Heel eenvoudig, dan laat je de andere spin gewoon ongemoeid door er de identiteitsmatrix op te laten werken. Op die manier construeer je nog steeds een matrix van de juiste omvang (in dit geval \(4 \times 4\)) maar gebeurt er niets in de subruimte van de andere spin. Zie onderstaand voorbeeld.

Voorbeeld

Stel, we willen de \(\hat{S}_{+}\) operator laten werken op de linker spin van toestand \(\ket{\downarrow\downarrow}\). Dan doen we feitelijk dit:

\[ \hat{S}_{+}^{(1)} \ket{\downarrow\downarrow} = \left( \hat{S}_{+} \otimes \hat{\mathbb{I}} \right) \ket{\downarrow\downarrow} = \hbar \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \right\} \ket{\downarrow\downarrow} = \hbar \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \hbar \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} = \hbar \ket{\uparrow\downarrow} \]

Of zoals hieronder, als we juist de rechter spin willen verhogen. Merk op dat in beide gevallen het resultaat overeenkomt met wat je zou verwachten.

\[ \hat{S}_{+}^{(2)} \ket{\downarrow\downarrow} = \left( \hat{\mathbb{I}} \otimes \hat{S}_{+} \right) \ket{\downarrow\downarrow} = \hbar \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \right\} \ket{\downarrow\downarrow} = \hbar \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \hbar \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} = \hbar \ket{\downarrow\uparrow} \]

Bovenstaande voorbeelden waren steeds met twee spins \(S=\frac{1}{2}\). Maar het principe van tensorvermenigvuldiging werkt ook voor grotere aantallen spins en hogere spinwaarden. Stel, je hebt een systeem van 6 spins \(S = 2\) waarvan je de derde wil verlagen. Hiervoor stel je de volgende matrix op.

\[ \hat{S}_{-}^{(3)} = \hat{\mathbb{I}} \otimes \hat{\mathbb{I}} \otimes \hat{S}_{-} \otimes \hat{\mathbb{I}} \otimes \hat{\mathbb{I}} \otimes \hat{\mathbb{I}} \]

Omdat een \(S = 2\) systeem bestaat uit \(5 \times 5\) matrices, zal bovenstaande matrix omvang \(5^6 \times 5^6 = 15625 \times 15625\) hebben en werken op een toestandsvector met lengte \(15625\).