Skip to content

Tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking

De volledige tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking behorende bij een Hamiltoniaan \(\hat{H}\) luidt:

\[ i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{H}\Psi \]

Deze vergelijking gaat op voor ieder quantummechanisch systeem. In dit document beperken we ons tot een deeltje met massa \(m\) in een ééndimensionale potentiaal \(V(x)\). In dat geval krijgt de vergelijking de specifieke vorm:

\[ i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+V\Psi \]

De oplossingen \(\Psi(x,t)\) van deze vergelijking zijn functies van zowel de positie \(x\) als de tijd \(t\). Om het overzichtelijk te houden, maken we in eerste instantie gebruik van scheiding van variabelen. We zoeken dan naar oplossingen die geschreven kunnen als product van een ruimteafhankelijke functie en een tijdafhankelijke functie:

\[ \Psi(x,t) = \psi(x)\varphi(t) \]

Let op

Het is belangrijk je te realiseren dat dit niet noodzakelijk geldt voor elke oplossing. Sterker nog, voor veruit de meeste oplossingen geldt het niet! Toch is het handig om op deze manier te werk te gaan. Uiteindelijk blijkt namelijk dat elke oplossing kan worden geschreven als lineaire combinatie van een aantal van bovenstaande productoplossingen.

Voor het ruimteafhankelijke deel van de golffunctie \(\psi(x)\) kunnen we nu een aparte tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking opstellen:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V\psi(x) = E\psi(x)\ , \]

of simpelweg \(\hat{H}\psi=E\psi\). De oplossingen \(\psi_n\) van deze vergelijking zijn stationair in de tijd en hebben een goed gedefiniëerde energie \(E_n\). Deze energie-eigentoestanden vormen samen een complete set: elke mogelijke ruimtelijke golffunctie kan geschreven worden als lineaire combinatie van toestanden \(\psi_n\).

Let op

De oplossingen \(\psi_n\) worden vaak kortweg aangeduid als de 'eigentoestanden' van het systeem. Dat is strikt genomen onvolledig: het zijn de eigentoestanden van de operator \(\hat{H}\), en dus eigenlijk 'energie-eigentoestanden'. Gebruik in het vervolg gerust de term 'eigentoestanden', maar wees je ervan bewust dat elke observabele eigentoestanden heeft en dat het hier dus specifiek gaat om eigentoestanden van de Hamiltoniaan.

Ook voor het tijdsafhankelijke deel \(\varphi(t)\) kan een aparte vergelijking worden afgeleid:

\[ i\hbar\frac{d\varphi(t)}{dt} = E\varphi(t) \]

De oplossing van deze vergelijking is heel eenvoudig:

\[ \varphi(t) = e^{-iEt/\hbar} \]

Voegen we dit samen met de oplossing van de tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking, dan vinden we voor de energie-eigentoestanden:

\[ \Psi_n(x,t) = \psi_n(x)\varphi(t) = \psi_n(x)e^{-iE_nt/\hbar} \]

Dit resultaat kunnen we als volgt samenvatten:

Stelling

De energie-eigentoestanden van een quantummechanisch systeem hebben een tijdsafhankelijke complexe fasefactor \(e^{-iE_nt/\hbar}\). Deze fase draait met een snelheid die lineair schaalt met de energie van de toestand.

Is dit niet in strijd met de eerdere opmerking dat de energie-eigentoestanden stationair zijn in de tijd? Nee, want op het moment dat we de waarschijnlijkheidsdichtheid \(|\Psi_n(x,t)|^2\) bepalen, valt de fasefactor weg:

\[ |\Psi_n(x,t)|^2 = \psi_n^*(x)e^{+iE_nt/\hbar}\ \psi_n(x)e^{-iE_n/t/\hbar} = |\psi_n(x)|^2 \]

Een andere manier om hiernaar te kijken is dat energie altijd relatief is. De energie van een energie-eigentoestand is weliswaar bepaald, maar omdat we vrijheid hebben om het energie-nulpunt te kiezen, kunnen we de energie van alle toestanden samen altijd verschuiven met een willekeurige constante.

Dat betekent dat we aan een enkele energie-eigentoestand in principe iedere energie kunnen toekennen, dus ook \(E_n = 0\). Alles wat fysisch meetbaar is, zoals \(|\Psi|^2\), zou niet van deze keuze mogen afhangen. De factor \(e^{-iE_nt/\hbar}\) wordt daarom ook wel een globale fasefactor genoemd. Deze heeft geen fysische betekenis en kan altijd worden weggedeeld.

Stelling

Voor een enkele energie-eigentoestand heeft de tijdsafhankelijke fasefactor geen fysische betekenis. De bijbehorende waarschijnlijkheidsdichtheid is constant in de tijd.

Om deze stelling te visualiseren beschouwen we als voorbeeld de oneindig diepe potentiaalput. In onderstaande grafiek zie je hoe de eerste aangeslagen toestand \(\Psi_2\) variëert in de tijd, terwijl de waarschijnlijkheidsdichtheid \(|\Psi_2|^2\) constant blijft.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation
plt.rcParams["animation.html"] = "jshtml"

n = 256
x = np.linspace(0,1,n)
y2 = np.sin(2*np.pi*x)

fig, axs = plt.subplots(2, 1, figsize=(5, 4))

axs[0].set_yticks([])
psi2, = axs[0].plot(x, y2.real, 'tab:blue')
psi2i, = axs[0].plot(x, y2.imag, 'tab:blue', alpha=0.5)
axs[0].legend(('Re [ $\Psi_2$ ]', 'Im [ $\Psi_2$ ]'), loc='lower left')
axs[0].axhline(y=0,linewidth=0.5, linestyle='dashed', color='grey')

axs[1].set_xlabel ('$x/a$')
axs[1].set_yticks([])
prob, = axs[1].plot(x, (y2*np.conj(y2)).real, 'tab:blue')
axs[1].fill_between(x, (y2*np.conj(y2)).real, color='tab:blue', alpha=0.25)
axs[1].legend(('$|\Psi_2|^2$',), loc='upper left')
axs[1].axhline(y=0,linewidth=0.5, linestyle='dashed', color='grey')

plt.close()

def animate(i):
    yt2 = np.exp(2*(i / 60)*np.pi*1j)*y2
    psi2.set_ydata(yt2.real)
    psi2i.set_ydata(yt2.imag)
    prob.set_ydata((yt2*np.conj(yt2)).real)

ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, interval=40, frames=60)
ani