Bra-ketnotatie¶

In deze collegeaantekeningen maken we gebruik van de bra-ketnotatie. Deze notatie is ontwikkeld door Dirac en helpt om met vectoren en matrices te rekenen.

In deze notatie geeft de vorm van de haakjes weer wat een een term precies is. Hierbij zijn er vier opties:

$\ket{\cdot}$, wordt een 'ket' genoemd en geeft een kolomvector weer.
$\bra{\cdot}$, wordt een 'bra' genoemd en is hiervan de geconjungeerde, getransponeerde versie van de ket. Dit is dus een rijvector.

Voorbeeld bra

Als de vector $\vec{a}$ wordt gegeven door $$ \ket{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1+i \\ 2 \end{pmatrix}, $$ dan is: $$ \bra{a}=\begin{pmatrix} 1&1-i&2 \end{pmatrix} $$
$\braket{\cdot}$ wordt een 'bra-ket' genoemd en geeft een scalair weer. Een veelvoorkomende bra-ket heeft de vorm $\braket{a|b}$. Dit is het inproduct van de vectoren $\vec{a}$ en $\vec{b}$.

Voorbeeld bra-ket

Als de vector $\vec{a}$ wordt gegeven door $$ \ket{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1+i \\ 2 \end{pmatrix}, $$ dan is: $$ \braket{a|a}= \begin{pmatrix}1&1-i&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\1+i\\2\end{pmatrix}= 1+2+4=7. $$
$|\cdot |$ is een combinatie van termen die de vorm van een matrix heeft.

Voorbeeld matrix

Als de vector $\vec{a}$ wordt gegeven door $$ \ket{a}=\begin{pmatrix} 1\\1+i\\2 \end{pmatrix}, $$ dan is: $$ \ket{a}\bra{a}= \begin{pmatrix}1\\1+i\\2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1-i&2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1-i&2\\ 1+i&2&2+2i\\ 2&2-2i&4 \end{pmatrix}. $$

Voorbeeld van combinatie

In de term $$ \braket{a|b}\braket{c|d} $$ kan je dus heel snel zien waar iets voor staat door alleen te kijken naar de haakjes die om een term heen staan. Zo staat de combinatie:

$\braket{a|b}\bra{c}$ voor een rijvector,
$\ket{b}\braket{c|d}$ voor een kolomvector,
$\ket{b}\bra{c}$ voor een matrix,
$\braket{a|b}$ voor een scalair.

Let op

Een combinatie als $\ket{a}\ket{b}$ is in deze notatie merkwaardig, want je kan geen kolomvector met een kolomvector vermenigvuldigen. Toch zullen we deze notatie wel eens tegenkomen. Dan slaat $\ket{a}$ op een vector in de ene (toestands)ruimte en $\ket{b}$ op een vector in een andere ruimte. De vectoren $\vec{a}$ en $\vec{b}$ kunnen dan dus ook een heel verschillende dimensie hebben.