Meting¶

Tot nu toe hebben we gekeken naar een gesloten systeem. Dat wil zeggen dat we alle gegevens van het systeem bekend waren en dat niks het systeem van buitenaf kon beïnvloedden.

Op het moment dat er een meting wordt gedaan aan het systeem, dan is dit niet langer het geval. Het systeem is dan tijdelijk open om de meting toe te staan. Er moet daarvoor interactie zijn tussen het systeem en het meetapparaat dat daar niet toe behoort. Dirac concludeerde hierbij:

Derde postulaat

Een meting verandert de toestand van het systeem naar een eigentoestand van de dynamische variabele die gemeten wordt.

Dus als we de grootheid $\mathcal{A}$ meten aan een systeem in toestand $\psi$, dan moet er een van de waardes $a_n$ uitkomen die voldoen aan: $$ \hat{A}\ket{\psi_n}=a_n\ket{\psi_n}. $$ Hierin is $a_n$ een eigenwaarde van de operator $\hat{A}$ en $\ket{\psi_n}$ is de bijbehorende eigentoestand.

De kans dat je deze eigentoestand meet bij een meting aan de begintoestand $\psi$ is gegeven door: $$ P(a_n)=\lvert \braket{\psi_n|\psi} \rvert^2 $$

Afleiding

Je kan niet bewijzen dat een meting zorgt voor de implosie van de toestandsfunctie naar een eigentoestand. Maar je kan wel inzien dat de gegeven kans logisch is door gebruik te maken van de volledigheidsrelatie: $$ \hat{A}\ket{\psi}=\sum_{i=1}^{N}\hat{A}\ket{\psi_i}\braket{\psi_i|\psi}=\sum_{i=1}^{N}a_i\ket{\psi_i}\braket{\psi_i|\psi} $$ blijkbaar komt er uit een enkele meting dan een van de waarden $a_i$ met de kans $\lvert \braket{\psi_i|\psi} \rvert^2$.

Als je de meting aan dezelfde observabele $\mathcal{A}$ direct daarna herhaalt, zal de uitkomst zich in 100\% van de gevallen herhalen. Het systeem bevindt zich immers in een specifieke eigentoestand. Dat sluit aan bij de reproduceerbaarheid die je van een natuurkundig experiment verwacht.

Let op

We maken met regelmaat gebruik van de uitdrukking dat we direct een volgende stap in het experiment zetten. We bedoelen hiermee dat er geen tijdsevolutie in het systeem wordt toegestaan.

Als je het experiment echter in het geheel herhaalt door het systeem opnieuw in dezelfde toestand $\ket{\psi}$ te brengen, dan hoeft de uitkomst niet hetzelfde te zijn. De meting zal weer zorgen voor een implosie van de toestandsfunctie naar één van de eigenfuncties met de kans die daarbij hoort. Door dit experiment vaak te herhalen meet je voor de gemiddelde uitkomst de zogenaamde verwachtingswaarde.

Vierde postulaat

De verwachtingswaarde voor een grootheid $\mathcal{A}$ in toestand $\ket{\psi}$ wordt gegeven door: $$ \langle \hat{A} \rangle=\braket{\psi|A|\psi}. $$ Deze geeft weer wat de gemiddelde waarde is voor een oneindige serie perfecte metingen aan systemen die zich allemaal in toestand $\ket{\psi}$ bevinden.

Afleiding

De formule voor de verwachtingswaarde is eigenlijk een definitie, maar je kan wel zien dat dit overeenkomt met wat je verwacht. Daarvoor moet je gebruik maken van de volledigheidsstelling: $$ \begin{align} \langle \hat{A} \rangle &= \braket{\psi|\hat{A}|\psi} = \sum_{i=1}^{N} \braket{\psi|\hat{A}|\psi_i}\braket{\psi_i|\psi} \\ &= \sum_{i=1}^{N} \braket{\psi|a_i|\psi_i}\braket{\psi_i|\psi} = \sum_{i=1}^{N} a_i \lvert \braket{\psi_i|\psi} \rvert^2 \\ &= \sum_{i=1}^{N} a_i P(a_i) \end{align} $$

Voorbeeld

Laten we in dit voorbeeld kijken naar een potentiaal met twee beschikbare toestanden. Er is dus een toestand $\ket{\psi_1}$ met energie $E_1$ en een aangeslagen toestand $\ket{\psi_2}$ met energie $4E_1$.

Als voorbeeld gaan we ervan uit dat het systeem zit in de toestand $\ket{\psi}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\psi_1}+i\ket{\psi_2})$. Dan is de verwachtingswaarde van de hamiltoniaan: $$ \begin{split} \langle \hat{H} \rangle & = \braket{\psi|\hat{H}|\psi}\\ & = (\frac{1}{\sqrt{2}} (\bra{\psi_1}{-i\bra{\psi_2}})) \hat{H}(\frac{1}{\sqrt{2}}( \ket{\psi_1}+i\ket{\psi_2}))\\ & = \frac{1}{2}(\braket{\psi_1|\hat{H}|\psi_1}+i\braket{\psi_1|\hat{H}|\psi_2}-i\braket{\psi_2|\hat{H}|\psi_1}+\braket{\psi_2|\hat{H}|\psi_2})\\ & = \frac{1}{2}(E_1+0+0+4E_1)=\frac{5}{2}E_1. \end{split} $$ Via de matrixnotatie gaat dit sneller: $$ \begin{split} \langle \hat{H} \rangle & = \braket{\psi|\hat{H}|\psi}\\ & = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -i \end{pmatrix} E_1\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 4 \end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}\\ & = \frac{1}{2} E_1 \begin{pmatrix} 1 & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 4i \end{pmatrix}\\ & = \frac{1}{2}E_1 (1+4)=\frac{5}{2} E_1. \end{split} $$

voorbeeld alternatieve basis

Als we nu 'eigenwijs' waren geweest en hadden gekozen voor de basis gegeven door: $$ \ket{\psi_1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\text{ en } \ket{\psi_2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}. $$ Dan was de vector voor deze toestand gegeven door: $$ \ket{\psi}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\psi_1}+i\ket{\psi_2})=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1+i\\1-i\end{pmatrix} $$ Dat had de volgende verwachtingswaarde gegeven: $$ \begin{split} \langle \hat{H} \rangle & = \braket{\psi|\hat{H}|\psi}\\ & = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1-i & 1+i \end{pmatrix} \frac{1}{2}E_1\begin{pmatrix} 5 & -3\\ -3 & 5 \end{pmatrix}\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+i \\ 1-i \end{pmatrix}\\ & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1-i & 1+i \end{pmatrix}\frac{1}{4}E_1 \begin{pmatrix} 2+8i \\ 2-8i \end{pmatrix}\\ & = \frac{1}{8}E_1 \cdot 20=\frac{5}{2} E_1. \end{split} $$ De verwachtingswaarde voor een gegeven toestand moet natuurlijk onafhankelijk zijn van de basis waarin je de berekening besluit te doen.