Impulsmoment¶

In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat de plaatsoperator $\hat{x}$ en de impulsoperator $\hat{p}_x$ niet commuteren. In een natuurkundig experiment betekent dit dat je de twee grootheden niet tegelijkertijd kunt weten in dezelfde richting. Dit maakt het heel interessant om te kijken naar het impulsmoment.

In de klassieke mechanica weet je dat $\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}$, zodat beide grootheden hier tegelijk voorkomen. Bovendien is het impulsmoment in een gesloten systeem een behouden grootheid, wat het belang hiervan nog groter maakt. Je kan je voorstellen dat dit een geliefd studieobject is in de quantummechanica.

We werken dit uit: $$ \hat{\vec{L}}=\begin{vmatrix} \vec{e}_x&\vec{e}_y&\vec{e}_z\\ \hat{x}&\hat{y}&\hat{z}\\ \hat{p}_x&\hat{p}_y&\hat{p}_z \end{vmatrix}= \begin{pmatrix} \hat{y}\hat{p}_z-\hat{z}\hat{p}_y\\ \hat{z}\hat{p}_x-\hat{x}\hat{p}_z\\ \hat{x}\hat{p}_y-\hat{y}\hat{p}_x \end{pmatrix} $$ Het kan geen kwaad om even stil te staan en te kijken wat hier nu precies staat. Ten eerste heeft de term $\hat{\vec{L}}$ een pijl en een dakje. Dit gaat dus om een vector en om een operator. Om die uit te schrijven maken we gebruik van de determinantformule. Hierin staat de vector $\vec{e}_i$ telkens voor de eenheidsvector in de richting $i$.

$\hat{\vec{L}}$ wordt op deze manier een vector, waarbij elke component op zich een operator is. Zo is de $z$-component hiervan bijvoorbeeld $\hat{L}_z=\hat{x}\hat{p}_y-\hat{y}\hat{p}_x$

Naast de operatoren voor de drie richtingen definiëren we ook de operator $$ \hat{L}^2 =\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{L}}= {\hat{L}}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2 $$ die het kwadraat van de lengte van de impulsmomentvector weergeeft. Als laatste voegen we toe: $$ \begin{align} \hat{L}_+&=\hat{L}_x+i\hat{L}_y\\ \hat{L}_-&=\hat{L}_x-i\hat{L}_y=\hat{L}_{+}^{\dagger} \end{align} $$

Deze operatoren hebben een aantal interessante eigenschappen:

$\lbrack \hat{L}_x,\hat{L}_y \rbrack = i \hbar \hat{L}_z$. Hierbij kan je $x$, $y$ en $z$ cyclisch verwisselen.

bewijs

Het bewijs is niet erg spannend, maar een kwestie van stug doorwerken: $$ \begin{align} \lbrack \hat{L}_x,\hat{L}_y \rbrack &= \lbrack \left( \hat{y}\hat{p}_z-\hat{z}\hat{p}_y\right),\left( \hat{z}\hat{p}_x-\hat{x}\hat{p}_z\right) \rbrack\\ &=\lbrack \hat{y}\hat{p}_z , \hat{z}\hat{p}_x \rbrack - \lbrack \hat{y}\hat{p}_z , \hat{x}\hat{p}_z \rbrack - \lbrack \hat{z}\hat{p}_y , \hat{z}\hat{p}_x + \lbrack \hat{z}\hat{p}_y , \hat{x}\hat{p}_z \rbrack \end{align} $$ Nu passen we toe dat alleen de termen $\lbrack \hat{\imath},\hat{p}_j \rbrack = \delta_{ij}$ en alle $\lbrack \hat{\imath},\hat{\jmath} \rbrack = 0$ en $\lbrack \hat{p}_{i},\hat{p}_j \rbrack = 0$, zodat: $$ \begin{align} \lbrack \hat{L}_x,\hat{L}_y \rbrack &= \lbrack \hat{y}\hat{p}_z , \hat{z}\hat{p}_x \rbrack + \lbrack \hat{z}\hat{p}_y , \hat{x}\hat{p}_z \rbrack\\ &= \hat{y}\lbrack \hat{p}_z , \hat{z} \rbrack \hat{p}_x + \hat{x} \lbrack \hat{z} , \hat{p}_z \rbrack \hat{p}_y\\ &=i\hbar\left( \hat{y}\hat{p}_x-\hat{x}\hat{p}_y\right)\\ &=i\hbar\hat{L}_z. \end{align} $$ Het minteken in de voorlaatste regel wordt veroorzaakt doordat $\lbrack \hat{z} , \hat{p}_z \rbrack=-\lbrack \hat{p}_z , \hat{z} \rbrack$.

$\lbrack \hat{L}^2,\hat{L}_x\rbrack=0$. Dat geldt ook voor $\hat{L}_y$ en $\hat{L}_z$. Omdat $\hat{L}^2$ en $\hat{L}_x$ commuteren, betekent dit dat ze een gemeenschappelijke basis hebben met een bijbehorende set quantumgetallen.

Bewijs

$$ \begin{align} \lbrack \hat{L}^2,\hat{L}_x\rbrack&=\lbrack \hat{L}_{x}^2,\hat{L}_x\rbrack+\lbrack \hat{L}_{y}^2,\hat{L}_x\rbrack+\lbrack \hat{L}_z^2,\hat{L}_x\rbrack\\ &=\hat{L}_y\lbrack \hat{L}_y,\hat{L}_x\rbrack + \lbrack \hat{L}_y,\hat{L}_x\rbrack\hat{L}_y + \hat{L}_z\lbrack \hat{L}_z,\hat{L}_x\rbrack + \lbrack \hat{L}_z,\hat{L}_x\rbrack\hat{L}_z\\ &= i\hbar\left( - \hat{L}_y \hat{L}_z- \hat{L}_z \hat{L}_y+ \hat{L}_z \hat{L}_y+ \hat{L}_y \hat{L}_z \right)\\ &=0 \end{align}. $$ Het bewijs voor $\hat{L}_y$ en $\hat{L}_z$ gaat op eenzelfde manier.

$\hat{L}^2\ket{lm_z}=\hbar^2l(l+1)\ket{lm_z}$, waarbij $l\in\left\{ 0,\frac{1}{2} , 1, \frac{3}{2},\dots \right\}$ het impulsmoment quantumgetal wordt genoemd.
$\hat{L}_z\ket{lm_z}=\hbar m_z\ket{lm_z}$, waarbij $m_z\in\left\{ l,l-1,\dots,0, \dots,-l+1,-l \right\}$ het magnetisch quantumgetal wordt genoemd.

Bewijs

Het bewijs voor deze laatste twee punten is nogal wiskundig. Voor dit bewijs mogen we er niet vanuit gaan dat $\hat{L}_{\pm}$ de ladderoperatoren zijn die de toestand veranderen van $\ket{l;m_z}$ naar $\ket{l;m_z\pm1}$. We starten daarom vanaf de neutrale aannames dat: $$ \begin{align} \hat{L}_\pm\ket{\psi}&=c_{\pm}\ket{\psi_\pm}\\ \hat{L}^2\ket{\psi}&=\lambda\ket{\psi}\\ \hat{L}_z\ket{\psi}&=\mu\ket{\psi}, \end{align} $$ waarbij we gebruik maken van het gegeven dat $\hat{L}^2$ commuteert met $\hat{L}_z$, zodat deze gemeenschappelijk eigentoestanden hebben. Dit is echter geen eigenwaarde van $\hat{L}_\pm$, dus $c_\pm$ zijn geen eigenwaarden maar complexe voorfactoren. Om nu te bepalen wat $\hat{L}_\pm$ doen met de toestand onderzoeken we hun werking in combinatie met $\hat{L}_z$. Voor de commutatoren geldt: $$ \begin{align} \lbrack \hat{L}_z,\hat{L}_+\rbrack&=\lbrack\hat{L}_z,\hat{L}_x\rbrack+i\lbrack\hat{L}_z,\hat{L}_y\rbrack\\ &=i\hbar\hat{L}_y+i(-i\hbar\hat{L}_x)\\ &=\hbar\hat{L}_+ \end{align} $$ en op eenzelfde manier: $$ \lbrack\hat{L}_z,\hat{L}_-\rbrack=-\hbar\hat{L}_-. $$ Met behulp van deze relaties kunnen we nu zien dat: $$ \begin{align} \hat{L}_z\ket{\psi_+}&=c_+^{-1}\hat{L}_z\hat{L}_+\ket{\psi}\\ &=c_+^{-1}(\lbrack\hat{L}_z,\hat{L}_+\rbrack+\hat{L}_+\hat{L}_z)\ket{\psi}\\ &=c_+^{-1}(\hbar\hat{L}_++\hat{L}_+\hat{L}_z)\ket{\psi}\\ &=c_+^{-1}\hat{L}_+(\hbar+\mu)\ket{\psi}\\ &=(\mu+\hbar)\ket{\psi_+} \end{align} $$ en op eenzelfde manier: $$ \hat{L}_z\ket{\psi_-}=(\mu-\hbar)\ket{\psi_-} $$ Hieruit kan je concluderen dat de operatoren $\hat{L}_\pm$ als ladderoperatoren functioneren. Ze verhogen (met $\hat{L}_+$) of verlagen (met $\hat{L}_-$) het quantumgetal voor de $\hat{L}_z$-operator met $\hbar$. Het quantumgetal voor de $\hat{L}^2$-operator wordt door de ladderoperatoren niet beïnvloed. Die conclusie kan je trekken uit: $$ \begin{align} \hat{L}^2\hat{L}_+\ket{\psi}&=\hat{L}_+\hat{L}^2\ket{\psi}\\ &=\lambda\hat{L}_+\ket{\psi}, \end{align} $$ waarbij we gebruik maken van het feit dat $\hat{L}^2$ en $\hat{L}_+$ commuteren. Hier zie je een voorbeeld van twee operatoren die een gemeenschappelijke basis hebben, waarbij alle toestanden van de basis ontaard zijn voor $\hat{L}^2$, terwijl $\hat{L}_z$ voor alle toestanden in de basis een andere eigenwaarde heeft en deze ontaarding dus opheft.

Nu dat we weten dat $\hat{L}_\pm$ zich gedragen als ladderoperatoren is het interessant om te kijken hoe hun combinatie werkt op een toestand. Daarvoor leiden we af: $$ \begin{align} \hat{L}_+\hat{L}_-&=(\hat{L}_x+i\hat{L}_y)(\hat{L}_x-i\hat{L}_y)\\ &=\hat{L}_x^2-i(\hat{L}_x\hat{L}_y-\hat{L}_y\hat{L}_x)+\hat{L}_y^2\\ &=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2-i\lbrack \hat{L}_x ,\hat{L}_y \rbrack\\ &=\hat{L}^2-\hat{L}_z^2+\hbar\hat{L}_z \end{align} $$ en op eenzelfde manier: $$ \hat{L}_-\hat{L}_+=\hat{L}^2-\hat{L}_z^2-\hbar\hat{L}_z. $$ Hieruit kunnen we afleiden dat: $$ \begin{align} \braket{\psi|\hat{L}_-\hat{L}_+|\psi} &=\braket{\psi|\hat{L}^2-\hat{L}_z^2-\hbar\hat{L}_z|\psi}\\ &=(\lambda-\mu^2-\hbar\mu)\braket{\psi|\psi} \end{align} $$ Nu zit de laatste truc in een tweede uitwerking voor de combinatie van de ladderoperatoren: $$ \begin{align} \braket{\psi|\hat{L}_-\hat{L}_+|\psi}&=\braket{\psi|\hat{L}_+^{\dagger}\hat{L}_+|\psi}\\ &=\braket{\psi_+|c_+^* c_+|\psi_+}\\ &=\lvert c_+ \rvert^2 \braket{\psi_+|\psi_+}\\ &\ge 0. \end{align} $$ We moeten dus concluderen dat: $$ (\lambda-\mu^2-\hbar\mu)\braket{\psi|\psi}\ge 0 $$ wat hetzelfde is als $$ \lambda\ge\mu(\mu+\hbar). $$ Er is dus een toestand waarin de z-component van deze vector maximaal is voor de gegeven lengte. Dat is de toestand waarbij $\lambda=\mu_{\text{max}}(\mu_{\text{max}}+\hbar)$.

Op precies dezelfde manier kunnen we een afleiding doen voor de term $\braket{\psi_-|\psi_-}$, waaruit we kunnen concluderen $\lambda\ge\mu_{\text{min}}(\mu_{\text{min}}-\hbar)$ en dus $\lambda=\mu_{\text{min}}(\mu_{\text{min}}-\hbar)$. Vergelijk je deze twee eisen dan kom je al snel tot de conclusie dat $\mu_{\text{max}}=-\mu_{\text{min}}$ en dat de toegestane waardes van $\mu$ dus liggen in het interval $\mu_{\text{max}}\ge\mu\ge-\mu_{\text{max}}$.

De $\hat{L}_+$-operator verhoogt de eigenwaarde $\mu$ met $\hbar$. Dat zal je dus een aantal keer moeten doen om van de minimale naar de maximale waarde te komen. Wiskundig geschreven: $$ \mu_{\text{max}}=\mu_{\text{min}}+n\hbar. $$ Hieruit kan je concluderen dat $$ \mu_{\text{max}}=\frac{n\hbar}{2}. $$ Als we de term $\hbar$ buiten het quantumgetal houden krijgen we op deze manier de relaties die we verwachten: $$ \begin{align} \hat{L}^2\ket{lm_z}&=\hbar^2l(l+1)\ket{lm_z}\\ \hat{L}_{z}\ket{lm_z}&=\hbar m_z\ket{lm_z} \end{align} $$ waarbij we gelijk hebben gesteld dat $m=\mu/\hbar$ en $\lambda=\hbar^2l(l+1)$.

Het beeld dat nu ontstaat komt overeen met de fysische interpretatie die we er altijd aan geven: $\hat{L}_z$ is de z-component van de impulsmomentvector die in stapjes van $\hbar$ kan variëren. De operator $\hat{L}^2$ is bij al deze bewerkingen constant en is gerelateerd aan de lengte van de impulsmomentvector, wat een behouden grootheid is.

$\hat{L}_\pm\ket{l;m_z}=\sqrt{(l\mp m_z)(l\pm m_z+1)}\hbar\ket{l;m_z\pm 1}$. Dit worden de ladderoperatoren genoemd en in het bewijs hierboven kan je hun werking zien. Kijk voor een afleiding van de voorfactoren naar het bewijs hieronder.

Bewijs

In het vorige bewijs hebben we gezien dat: $$ \begin{align} \braket{\psi|\hat{L}_-\hat{L}_+|\psi} &=\braket{\psi|\hat{L}^2-\hat{L}_z^2-\hbar\hat{L}_z|\psi}\\ &=\hbar^2(l(l+1)-m^2-m)\braket{\psi|\psi}. \end{align} $$ Daarnaast zagen we ook: $$ \braket{\psi|\hat{L}_-\hat{L}_+|\psi}=\lvert c_+ \rvert^2 \braket{\psi_+|\psi_+}. $$ Combineren we deze gegevens en kiezen we $c_+$ reëel, dan moet: $$ c_+ = \sqrt{(l-m_z)(l+m_z+1)}\hbar. $$ Door eenzelfde redenatie op te zetten voor de term $\hat{L}_+\hat{L}_-$ krijgen we de eis: $$ c_- = \sqrt{(l+m_z)(l-m_z+1)}\hbar. $$

Voorbeeld

In het hoorcollege behandelen we de spin-1 in het werkcollege doe je zelf de spin-1/2, laten we hier de spin-3/2 doen. Ten eerste betekent dit $l=3/2$, zodat: $$ m\in \lbrace \frac{3}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\rbrace . $$ Dit betekent dat de toestandsruimte behorend bij deze operator 4-dimensionaal is. Alle operatoren moeten daarom een $4\times 4$-matrix vormen. Voordat we iets over de matrices kunnen zeggen, moeten we eerst een basis kiezen. We hebben namelijk gezien dat de vorm van matrix afhankelijk is van de basis. We kiezen de vier eigentoestanden als basisvectoren: $$ \ket{m=\frac{3}{2}}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\quad \ket{m=\frac{1}{2}}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix},\quad \ket{m=-\frac{1}{2}}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \text{ en }\quad \ket{m=-\frac{3}{2}}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix} $$ Nu kunnen we gebruik maken van de formule dat $A_{ij}=\braket{\psi_i|\hat{A}|\psi_j}$. Een voorbeelduitwerking voor het element op de eerste rij, eerste kolom: $$ L_{z,11}=\Braket{m_z=\frac{3}{2}|\hat{L}_z|m_z=\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}\hbar. $$ Als we alle elementen zo aflopen dan wordt de matrix: $$ \hat{L}_z=\frac{1}{2}\hbar\begin{pmatrix} 3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3 \end{pmatrix} $$ Zo kunnen we door gebruik te maken van de formules $\hat{L}_\pm\ket{l;m_z}=\sqrt{(l\mp m_z)(l\pm m_z+1)}\hbar\ket{l;m_z\pm 1}$ ook aantonen dat: $$ \hat{L}_+=\hbar\begin{pmatrix} 0&\sqrt{3}&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&\sqrt{3}\\0&0&0&0 \end{pmatrix}\text{ en }\quad \hat{L}_-=\hbar\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\\sqrt{3}&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&\sqrt{3}&0 \end{pmatrix} $$ De matrices voor $\hat{L}_x=(\hat{L}_+ +\hat{L}_- )/2$ en $\hat{L}_y=(\hat{L}_+ -\hat{L}_- )/2i$ volgen hier eenvoudig uit.