Hilbertruimte¶
Een efficiënte manier om de theorie van de quantummechanica te introduceren is door een aantal aannames te maken, die we simpelweg accepteren. We nomen dit postulaten.
Het eerste postulaat
Alle mogelijke toestandsfuncties waarin een systeem zich kan bevinden, vormen een vectorruimte. Elke vector
Het principe van superpositie zit hier al in opgesloten. Want als
Als de operator
We gaan ervan uit dat deze operatoren lineair zijn. Dat wil zeggen dat:
Regelmatig heb je te maken met de geadjungeerde term voor een vector (de 'bra' behorend bij een 'ket'). De rekenregels hiervoor zijn:
- van
is het - van
is het - van
is het - van
is het
Het tweede postulaat
Elke fysische grootheid van het systeem correspondeert met een hermitische operator.
Een hermitische operator is een operator die gelijk is aan zijn geadjungeerde. Als je een hermitische operator dus eerst transponeert en daarna de complex geconjungeerde neemt, dan kom je uit bij dezelfde operator. Kort geschreven:
Voor een hermitische operator
Let op
Verwissel de woorden geadjugeerd en geadjungeerd niet:
De geadjungeerde matrix van
Voor deze ruimte gelden een aantal interessante eigenschappen:
-
Een hermitische operator heeft reële eigenwaarden.
Bewijs
Stel
, dan moet gelden: Maar ook moet gelden: Omdat je van de definitie voor een hermitische matrix weet dat , moet er dus gelden , zodat a alleen een reële waarde kan hebben. -
Van een hermitische operator zijn de eigenfuncties met verschillende eigenwaarden onderling orthogonaal. Dit wordt vaak weergegeven door de formule
.Bewijs
Stel in dit geval dat
en dat , waarbij . Dan moet gelden: Dat laatste volgt uit de definitie voor een hermitische matrix. Omdat de aanname was dat en verschillende eigenwaarden waren, moet dus gelden . De twee eigenvectoren staan daarom onderling loodrecht.Eigenfuncties die dezelfde eigenwaarde hebben, vormen met elkaar een deelruimte. Dat komt doordat een lineaire superpositie van twee eigenvectoren met dezelfde eigenwaarde weer een vector vormen met diezelfde eigenwaarde. Voor deze deelruimte staan dus niet alle eigenvectoren onderling loodrecht, maar je bent wel vrij om voor deze deelruimte een orthonormale basis te kiezen.
-
Je kan elke toestandsvector in de vectorruimte ontwikkelen in een set eigenvectoren van een hermitisiche operator, die een volledige, orthonormale basis vormen.
Bewijs
Het eerste postulaat heeft al vastgesteld dat elke toestand
in de vectorruimte zit. Het punt hierboven heeft onderbouwt dat je voor deze vectorruimte een orthonormale basis kan vinden die helemaal uit eigenvectoren bestaat. Dus kunnen we stellen: Als we deze uitdrukking links vermenigvuldigen met en gebruik maken van , dan vereenvoudigt dit tot: Vul dit in de sommatie in en je krijgt:In dit bewijs zie je dat:
waarbij de eenheidsmatrix is. Deze formule wordt de volledigheidsrelatie genoemd. -
Voor een gegeven orthonormale basis van eigenvectoren, kan je een hermitische operator weergeven als matrix.
Bewijs
Als we voor de vectorruimte
de basis kiezen, dan is een willekeurige hermitische operator te schrijven als: waarbij we twee keer de volledigheidsrelatie hebben gebruikt. Aan de haken van de notatie kan je herkennen dat de operator nu een matrix is. In het centrum van deze formule staat de term , wat telkens een getal voorstelt. Dit getal verbindt de -de basisvector (in de ket links) met de -de basisvector (in de bra rechts). Je kan de operator daarom weergeven als een -matrix: Voor het element op de -de rij en de -de kolom geldt dus datDaarbij moet voor alle hermitische operatoren gelden dat
.
voorbeeld
Laten we in dit voorbeeld kijken naar een harmonische potentiaal waarvan alleen de onderste twee toestanden beschikbaar zijn. Er is dus een toestand
Kijken we naar de vier eigenschappen hierboven, dan zie je direct:
-
De eigenwaarden van de hamiltoniaan
zijn reëel, want ze komen overeen met de energieën van de toestanden. -
De twee eigentoestanden staan onderling loodrecht. Een systeem dat volledig in toestand
zit, bevindt zich geheel niet in toestand . -
Alle mogelijke toestanden van deze potentiaal zijn inderdaad superposities van
en . -
De operator van de energie (
} is te schrijven als matrix. Daarvoor moeten we een keuze maken in de notatie van de basis. Voor het gemak stellen we Dan volgt voor de matrix:
Onhandig voorbeeld
Als we nu 'eigenwijs' waren geweest en voor een andere basis hadden gekozen, dan zou toch alles goed gegaan zijn. Stel voor het ongemak dat:
De elementen van de matrix hangen dus samen met de basis die je hebt gekozen. Anders gezegd: zonder te weten in welke basis een matrix is uitgedrukt, heb je niks aan de informatie.