Onzekerheid en Heisenberg

Stel nu dat je twee metingen direct achter elkaar doet, maar dan aan twee verschillende grootheden. Als deze grootheden niet commuteren hebben we hiervoor gezien dat de volgorde ertoe doet.

Als we de eerste meting doen aan grootheid \(\mathcal{A}\) zal volgens het derde postulaat de toestand veranderen naar een eigentoestand van de bijbehorende operator \(\hat{A}\).

Stel dat we de meting daarna de grootheid \(\mathcal{B}\) meten. Omdat we ervan uitgaan dat \(\hat{A}\) en \(\hat{B}\) niet commuteren zal de toestand nu door de meting veranderen naar een eigentoestand van \(\hat{B}\), die geen eigentoestand is van de operator \(\hat{A}\).

Als we nu opnieuw een meting aan grootheid \(\mathcal{A}\) doen weten we daarom niet langer wat de uitkomst daarvan zal zijn. Bij deze meting verandert de toestand weer in een eigentoestand van de operator \(\hat{A}\).

De variatie die een herhaalde, alternerende meting van grootheid \(\mathcal{A}\) en \(\mathcal{B}\) reproduceert dan niet telkens dezelfde twee resultaten maar heeft een zekere mate van onbepaaldheid. De onbepaaldheid in de grootheid \(\mathcal{A}\) definiëren we als: $$ \sigma_A^2 = \langle (\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle)^2 \rangle $$ De relatie in de onbepaaldheid in \(\mathcal{A}\) en \(\mathcal{B}\) is dan gegeven door: $$ \sigma_A \sigma_B \ge \lvert \frac{1}{2i} \langle \lbrack \hat{A} , \hat{B} \rbrack \rangle \rvert $$

Dit is de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg, ook wel de onzekerheidsrelatie genoemd.

Bewijs

Het bewijs voor de onzekerheidsrelatie is een beetje technisch. Ten eerste geldt voor de onbepaaldheid in \(\mathcal{A}\): $$ \sigma_A^2 = \braket{(\hat{A}-\langle \hat{A} \rangle)\psi|(\hat{A}-\langle \hat{A} \rangle)\psi}\equiv\braket{f|f} $$ en op dezelfde manier: $$ \sigma_B^2 = \braket{(\hat{B}-\langle \hat{B} \rangle)\psi|(\hat{B}-\langle \hat{B} \rangle)\psi}\equiv\braket{g|g}. $$ Met behulp van de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz kunnen we dan stellen dat: $$ \begin{align} \sigma_A^2 \sigma_B^2 = \braket{f|f}\braket{g|g} &\ge \lvert \braket{f|g} \rvert^2 \\ &\ge (\frac{1}{2i} \lbrack \braket{f|g}-\braket{g|f}\rbrack)^2 \end{align} $$ Waarbij we in de laatste stap gebruik hebben gemaakt van: $$ \vert z \rvert^2 = [\text{Re}(z)]^2+[\text{Im}(z)]^2\ge[\text{Im}(z)]^2=[\frac{1}{2i}(z-z^*)]^2 $$ De term \(\braket{f|g}\) kunnen we nu uitwerken: $$ \begin{align} \braket{f|g}&=\braket{(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle)\psi|(\hat{B}-\langle\hat{B}\rangle)\psi}\\ &=\braket{\psi|(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle)(\hat{B}-\langle\hat{B}\rangle)\psi}\\ &=\braket{\psi|(\hat{A}\hat{B}-\hat{A}\langle \hat{B} \rangle-\langle \hat{A} \rangle \hat{B}+\langle \hat{A} \rangle \langle \hat{B} \rangle)\psi}\\ &=\braket{\psi|\hat{A}\hat{B}\psi}-\langle \hat{B}\rangle\braket{\psi|\hat{A}\psi}-\langle\hat{A}\rangle\braket{\psi|\hat{B}\psi}+\langle\hat{A}\rangle\langle\hat{B}\rangle\\ &=\langle\hat{A}\hat{B}\rangle-\langle\hat{B}\rangle\langle\hat{A}\rangle-\langle\hat{A}\rangle\langle\hat{B}\rangle+\langle\hat{A}\rangle\langle\hat{B}\rangle\\ &=\langle\hat{A}\hat{B}\rangle-\langle\hat{B}\rangle\langle\hat{A}\rangle \end{align} $$ en op een identieke manier: $$ \braket{g|f}=\langle\hat{B}\hat{A}\rangle-\langle\hat{A}\rangle\langle\hat{B}\rangle. $$ Opbasis hiervan kunnen we concluderen dat: $$ \begin{align} \braket{f|g}-\braket{g|f}&=\langle\hat{A}\hat{B}\rangle-\langle\hat{B}\rangle\langle\hat{A}\rangle-\langle\hat{B}\hat{A}\rangle+\langle\hat{A}\rangle\langle\hat{B}\rangle\\ &=\langle\hat{A}\hat{B}\rangle-\langle\hat{B}\hat{A}\rangle\\ &=\langle\lbrack\hat{A},\hat{B}\rbrack\rangle \end{align} $$ Vul dit in voor de ongelijkheid van Cauchy Schwarz en er staat de gegeven onzekerheidsrelatie van Heisenberg.

Merk op dat dit consistent is met de conclusies in het hoofdstuk over commuterende grootheden. Voor commuterende grootheden is de rechter term in de onzekerheidsrelatie gelijk aan 0. Er is dan dus geen onzekerheid in de meting, maar de meetwaardes zijn scherp bepaald. Dat komt dus overeen met de conclusie dat \(\hat{A}\) en \(\hat{B}\) een gemeenschappelijke basis hebben, zodat de golffunctie niet telkens verandert bij het wisselen van het meten van de twee grootheden.

Let op: ontaardheid

Stel je een situatie voor waarin we twee commuterende grootheden alternerend meten. Grootheid \(\mathcal{A}\) is tweevoudig ontaard bij de gevonden meetwaarde, maar grootheid \(\mathcal{B}\) is niet ontaard bij de gevonden meetwaarde. Wat zal er dan precies gebeuren?

Als \(\mathcal{A}\) voor de eerste keer gemeten wordt, zal de toestand van het systeem veranderen van de begintoestand naar een eigentoestand in de deeltruimte van \(\hat{A}\), die hoort bij deze tweevoudig ontaarde eigenwaarde.

Bij een meting aan \(\mathcal{B}\) hoeft deze toestand niet precies overeen te komen met de eigentoestand van operator \(\hat{B}\). De golffunctie verandert dan naar de eigentoestand behorende bij deze eigenwaarde van \(\hat{B}\).

Als je vervolgens \(\mathcal{A}\) weer meet, is de toestand wel veranderd, maar de meetwaarde niet. De eigentoestand van \(\hat{B}\) moet namelijk een element zijn van de deelruimte van \(\hat{A}\) die deze eigenwaarde heeft. De toestand verandert dus niet meer door deze meting en de gevonden meetwaarde zal vanwege de ontaarding overeenkomen met de eerder gevonden meetwaarde voor \(\mathcal{A}\).

Verdere metingen aan \(\mathcal{A}\) en \(\mathcal{B}\) zullen geen invloed meer hebben op de toestand of de gevonden meerwaarde.