Onzekerheid en Heisenberg¶

Stel nu dat je twee metingen direct achter elkaar doet, maar dan aan twee verschillende grootheden. Als deze grootheden niet commuteren hebben we hiervoor gezien dat de volgorde ertoe doet.

Als we de eerste meting doen aan grootheid $\mathcal{A}$ zal volgens het derde postulaat de toestand veranderen naar een eigentoestand van de bijbehorende operator $\hat{A}$.

Stel dat we de meting daarna de grootheid $\mathcal{B}$ meten. Omdat we ervan uitgaan dat $\hat{A}$ en $\hat{B}$ niet commuteren zal de toestand nu door de meting veranderen naar een eigentoestand van $\hat{B}$, die geen eigentoestand is van de operator $\hat{A}$.

Als we nu opnieuw een meting aan grootheid $\mathcal{A}$ doen weten we daarom niet langer wat de uitkomst daarvan zal zijn. Bij deze meting verandert de toestand weer in een eigentoestand van de operator $\hat{A}$.

De variatie die een herhaalde, alternerende meting van grootheid $\mathcal{A}$ en $\mathcal{B}$ reproduceert dan niet telkens dezelfde twee resultaten maar heeft een zekere mate van onbepaaldheid. De onbepaaldheid in de grootheid $\mathcal{A}$ definiëren we als: $$ \sigma_A^2 = \langle (\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle)^2 \rangle $$ De relatie in de onbepaaldheid in $\mathcal{A}$ en $\mathcal{B}$ is dan gegeven door: $$ \sigma_A \sigma_B \ge \lvert \frac{1}{2i} \langle \lbrack \hat{A} , \hat{B} \rbrack \rangle \rvert $$

Dit is de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg, ook wel de onzekerheidsrelatie genoemd. Het bewijs voor de onzekerheidsrelatie is een beetje technisch. Je kan het vinden in de collegeaantekeningen voor QM1. Hieronder vind je een alternatief bewijs.

Alternatief bewijs

Voor een goede afschatting van de onzekerheidsrelatie wil je de term splitsen in een reëel en een imaginair deel. Je kan dat ook doen met behulp van commutatoren. We introduceren hiervoor de anti-commutator. Die wordt wel vaker gebruikt, maar is voor deze stof verder onbelangrijk.

De anti-commutator is gedefinieerd als: $$ \lbrace \hat{A},\hat{B} \rbrace = \hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A} $$ Deze anti-commutator heeft een paar eigenschappen die voor deze afleiding belangrijk zijn:

het is een operator. Dat is misschien even wennen, maar je weet dat $\hat{A}$ en $\hat{B}$ weergegeven kunnen worden door matrices. Dat betekent dat de anti-commutator ook een matrix moet zijn.
als $\hat{A}$ en $\hat{B}$ hermitisch zijn is hun anti-commutator dat ook, want: $$ \lbrace \hat{A},\hat{B}\rbrace^{\dagger}=(\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A})^{\dagger}=\hat{B}^{\dagger}\hat{A}^{\dagger}+\hat{A}^{\dagger}\hat{B}^{\dagger}=\hat{B}\hat{A}+\hat{A}\hat{B}=\lbrace \hat{A},\hat{B}\rbrace. $$
omdat hij hermitisch is, moeten zijn eigenwaarden reëel zijn.

Vooral dat laatste punt is heel belangrijk, omdat we op zoek waren naar een reëel en imaginair deel.

Voor de commutator geldt namelijk:

net als de anti-commutator moet dit ook een operator zijn.
als $\hat{A}$ en $\hat{B}$ hermitisch zijn, geldt: $$ \lbrack \hat{A},\hat{B}\rbrack^{\dagger}=(\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A})^{\dagger}=\hat{B}^{\dagger}\hat{A}^{\dagger}-\hat{A}^{\dagger}\hat{B}^{\dagger}=\hat{B}\hat{A}-\hat{A}\hat{B}=-\lbrack \hat{A},\hat{B}\rbrack. $$ De commutator wordt daarom anti-hermitisch genoemd.
Het gevolg is dat de eigenwaarden van deze commutator imaginair moeten zijn. Hiervoor herhaal je het bewijs voor hermitische operatoren, maar met een toegevoegd minteken.

Voordat we het bewijs voor de onzekerheidsrelatie behandelen, voeren we een vereenvoudiging van de notatie door en definiëren we: $$ \tilde{A}=\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle \text{ en } \tilde{B}=\hat{B}-\langle\hat{B}\rangle. $$ Van deze nieuwe operatoren weten we dat ze hermitisch moeten zijn (de verwachtingswaarde is een reëel getal, zodat de eigenwaarden reëel blijven) en dat geldt: $$ \begin{align} \lbrack\tilde{A},\tilde{B}\rbrack&=\lbrack(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle),(\hat{B}-\langle\hat{B}\rangle)\rbrack\\ &=(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle)(\hat{B}-\langle\hat{B}\rangle)-(\hat{B}-\langle\hat{B}\rangle)(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle)\\ &=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}=\lbrack\hat{A},\hat{B}\rbrack. \end{align} $$ De afleiding voor de onzekerheidsrelatie wordt nu: $$ \begin{align} \sigma_{A}^2\sigma_{B}^{2}&=\langle{\tilde{A}^2\rangle\langle\tilde{B}^2\rangle}=\braket{\psi|\tilde{A}^2\psi}\braket{\psi|\tilde{B}^2\psi}\\ &=\braket{\tilde{A}\psi|\tilde{A}\psi}\braket{\tilde{B}\psi|\tilde{B}\psi}\\ &\ge |\braket{\tilde{A}\psi|\tilde{B}\psi}\rvert^2=\lvert\braket{\psi|\tilde{A}\tilde{B}\psi}\rvert^2, \end{align} $$ waarbij we weer de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz hebben gebruikt. Nu splitsen we de term in een reëel en imaginaire deel via: $$ \begin{align} \langle\tilde{A}\tilde{B}\rangle&=\frac{1}{2}\langle(\tilde{A}\tilde{B}-\tilde{B}\tilde{A})\rangle+\frac{1}{2}\langle(\tilde{A}\tilde{B}+\tilde{B}\tilde{A})\rangle\\ &=\frac{1}{2}\langle\lbrack\tilde{A},\tilde{B}\rbrack\rangle+\frac{1}{2}\langle\lbrace\tilde{A},\tilde{B}\rbrace\rangle \end{align} $$ en kunnen we concluderen: $$ \begin{align} \sigma_{A}^2\sigma_{B}^{2}&=\lvert\langle\tilde{A}\tilde{B}\rangle\rvert^2\\ &=\frac{1}{4}\lvert\langle\lbrack\tilde{A},\tilde{B}\rbrack\rangle\rvert^2+\frac{1}{4}\lvert\langle\lbrace\tilde{A},\tilde{B}\rbrace\rangle\rvert^2\\ &\ge \frac{1}{4}\lvert\langle\lbrack\hat{A},\hat{B}\rbrack\rangle\rvert^2. \end{align} $$ In de laatste stap hebben we de term van de anti-commutator verwaarloosd en de commutator weer geschreven in term van de oorspronkelijke operatoren met het hoedje.

Merk op dat dit consistent is met de conclusies in het hoofdstuk over commuterende grootheden. Voor commuterende grootheden is de rechter term in de onzekerheidsrelatie gelijk aan 0. Er is dan dus geen onzekerheid in de meting, maar de meetwaardes zijn scherp bepaald. Dat komt dus overeen met de conclusie dat $\hat{A}$ en $\hat{B}$ een gemeenschappelijke basis hebben, zodat de golffunctie niet telkens verandert bij het wisselen van het meten van de twee grootheden.

Let op: ontaardheid

Stel je een situatie voor waarin we twee commuterende grootheden alternerend meten. Grootheid $\mathcal{A}$ is tweevoudig ontaard bij de gevonden meetwaarde, maar grootheid $\mathcal{B}$ is niet ontaard bij de gevonden meetwaarde. Wat zal er dan precies gebeuren?

Als $\mathcal{A}$ voor de eerste keer gemeten wordt, zal de toestand van het systeem veranderen van de begintoestand naar een eigentoestand in de deeltruimte van $\hat{A}$, die hoort bij deze tweevoudig ontaarde eigenwaarde.

Bij een meting aan $\mathcal{B}$ hoeft deze toestand niet precies overeen te komen met de eigentoestand van operator $\hat{B}$. De golffunctie verandert dan naar de eigentoestand behorende bij deze eigenwaarde van $\hat{B}$.

Als je vervolgens $\mathcal{A}$ weer meet, is de toestand wel veranderd, maar de meetwaarde niet. De eigentoestand van $\hat{B}$ moet namelijk een element zijn van de deelruimte van $\hat{A}$ die deze eigenwaarde heeft. De toestand verandert dus niet meer door deze meting en de gevonden meetwaarde zal vanwege de ontaarding overeenkomen met de eerder gevonden meetwaarde voor $\mathcal{A}$.

Verdere metingen aan $\mathcal{A}$ en $\mathcal{B}$ zullen geen invloed meer hebben op de toestand of de gevonden meerwaarde.

Voorbeeld: plaats en impuls

De eerste combinatie van grootheden waarvoor de onzekerheid van Heisenberg altijd wordt genoemd zijn de plaats en de impuls. In termen van operatoren volgt dit uit het volgend: $$ \begin{align} [\hat{x},\hat{p}]\psi(x)&=\hat{x}\hat{p}\psi(x)-\hat{p}\hat{x}\psi(x)\\ &= -i\hbar\left( x\frac{d\psi(x)}{dx}-\frac{d}{dx}(x\psi(x)) \right)\\ &=-i\hbar\left(x\frac{d\psi(x)}{dx}-\psi(x)-x\frac{d\psi(x)}{dx}\right)\\ &=i\hbar\psi(x). \end{align} $$ Hieruit volgt de welbekende formule: $$ \sigma_{x}^{2}\sigma_{p}^{2}\ge\frac{1}{4}\hbar^2, $$ die vaak wordt geschreven als $$ \Delta x\Delta p\ge\frac{\hbar}{2}. $$ Nu hebben we veel preciezer gedefinieerd wat we met die $\Delta$ bedoelen.

Voorbeeld: impulsmoment

Deze relatie wordt behandeld in het volgende hoofdstuk