Harmonische oscillator

De harmonische oscillator is een quantummechanisch systeem dat we exact kunnen oplossen. Het systeem bestaat uit een deeltje met massa \(m\) dat zich bevindt in een ééndimensionale parabolische potentiaal:

\[ V(x) = \frac{1}{2}kx^2 \]

De parameter \(k\) (de veerconstante indien je de situatie beschouwt als een massa-veersysteem) bepaalt hierin hoe steil de parabool is. Net als in de klassieke mechanica resulteert dat in een resonantiefrequentie

\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \]

Hoewel je in de natuur nooit een perfecte harmonische oscillator aantreft, is het een heel waardevol systeem om te bestuderen. Veel potentiaalputten zijn immers bij benadering parabolisch. Ga je uit van een Taylor-expansie benadering dan kun je zelfs stellen dat elke potentiaalput tot op tweede orde benadering een harmonische oscillator is.

In dit document bespreken we op overzichtelijke wijze de belangrijkste eigenschappen van de quantum harmonische oscillator. We zullen deze hier niet volledig afleiden: daarvoor verwijzen we naar hoofdstuk 2 van Griffiths.

De tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking voor de harmonische oscillator luidt:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{1}{2}m\omega^2 x^2\psi = E\psi \]

Deze kan worden herschreven naar:

\[ \frac{1}{2m}\left( \hat{p}^2 + (m\omega \hat{x}^2) \right)\psi = E\psi \]

Let op

Griffiths kiest ervoor om geen dakje op de \(x\) te zetten. Dat is verwarrend: zowel \(\hat{x}\) als \(\hat{p}\) zijn operatoren en worden verderop expliciet als zodanig gebruikt. Wij schrijven hier dus systematisch wel een dakje op de \(x\).

Zoals je hierboven ziet, bevat de harmonische oscillator een mooie symmetrie tussen de positie \(\hat{x}\) en de impuls \(\hat{p}\), die beide kwadratisch in de Hamiltoniaan terugkomen. Helaas is het zo dat deze twee operatoren niet commuteren:

\[ \left[\hat{x},\hat{p}\right] = i\hbar \]

Dit houdt in dat de impuls en de positie nooit tegelijkertijd volledig gedefiniëerd kunnen zijn. Nu blijkt het handig om over te stappen op twee andere operatoren die zijn opgebouwd uit \(\hat{x}\) en \(\hat{p}\), de zogeheten ladderoperatoren:

\[ \hat{a}_\pm \equiv \frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}\left( \mp i\hat{p} + m\omega \hat{x} \right) \]

Andersom kun je de \(\hat{x}\) en \(\hat{p}\) uitdrukken in de ladderoperatoren:

\[ \hat{x} = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(\hat{a}_{+} + \hat{a}_{-}\right), \hspace{10mm} \hat{p} = i\sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}}\left(\hat{a}_{+} - \hat{a}_{-}\right) \]

In termen van de ladderoperatoren wordt de Schrödingervergelijking ineens heel elegant:

\[ \hbar\omega\left( \hat{a}_{\pm}\hat{a}_{\mp} \pm \frac{1}{2} \right)\psi = E\psi \]

(Het maakt hierbij niet uit of je de bovenkanten van de \(\pm\) en \(\mp\) gebruikt of de onderkanten; beide beschrijvingen zijn equivalent.)

Het mooie van de ladderoperatoren is dat ze de energie-eigentoestanden \(\ket{n}\) (gebruik makend van de bra-ketnotatie) van de harmonische oscillator met elkaar verbinden:

\[ \hat{a}_{+}\ket{n} = \sqrt{n+1}\ \ket{n+1}, \hspace{10mm} \hat{a}_{-}\ket{n} = \sqrt{n}\ \ket{n-1} \]

Een individuele ladderoperator vertegenwoordigt geen observabele, maar je kunt wel een observabele creëren door ladderoperatoren te combineren:

\[ \hat{a}_{+}\hat{a}_{-}\ket{n} = \sqrt{n}\ \hat{a}_{+}\ket{n-1} = n\ket{n} \]

Je zou dus de observabele \(\hat{n}=\hat{a}_{+}\hat{a}_{-}\) kunnen definiëren. Evengoed geldt:

\[ \hat{a}_{-}\hat{a}_{+}\ket{n} = \sqrt{n+1}\ \hat{a}_{-}\ket{n+1} = (n+1)\ket{n} \]

Hieruit volgt de commutatierelatie van \(\hat{a}_{+}\) en \(\hat{a}_{-}\):

\[ \left[\hat{a}_{-},\hat{a}_{+}\right] = \hat{a}_{-}\hat{a}_{+} - \hat{a}_{+}\hat{a}_{-} = n + 1 - n = 1 \]

De Schrödingervergelijking (of je nou de boven- of onderkanten van \(\pm\) en \(\mp\) kiest) verandert hiermee in:

\[ \hbar\omega\left( \hat{n} + \frac{1}{2} \right)\ket{n} = E_n \ket{n} \]

De energie van een harmonische oscillator neemt lineair toe met de observabele \(\hat{n}\). Deze operator `telt' hoeveel energiequanta \(\hbar\omega\) en in de harmonische oscillator zitten. Vergelijk je de quantum-harmonische oscillator met het klassieke massa-veer systeem, dan is \(n\) dus een maat voor de amplitude van de oscillatie. Dit brengt ons tot de volgende conclusie:

Stelling

De Hamiltoniaan van de harmonische oscillator kan worden herschreven in termen van een enkele observabele \(\hat{n} = \hat{a}_{+}\hat{a}_{-}\): $$ \hat{H} = \left(\hat{n} + \frac{1}{2} \right)\hbar\omega $$ De observabele \(\hat{n}\) geeft de bezettingsgraad aan van de harmonische oscillator. Bij elke opeenvolgende energie-eigentoestand \(\ket{n}\) neemt de energie toe met een gelijke hoeveelheid \(\hbar\omega\).

Omdat de ladderoperatoren je van de ene naar de andere energie-eigentoestand kunnen brengen, hoef je, om de ruimtelijke vorm van alle energie-eigentoestanden te vinden, eigenlijk alleen maar de grondtoestand \(\ket{0}\) te kennen. Deze de vorm blijkt te hebben van een Gaussische curve:

\[ \ket{0} = \left( \frac{m\omega}{\pi \hbar} \right)^{\frac{1}{4}} e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2} \]

Elke volgende toestand kun je in principe hieruit construeren door een aantal keer ladderoperator \(\hat{a}_{+}\) toe te passen:

\[ \ket{n} = \frac{1}{\sqrt{n!}}(\hat{a}_{+})^n \ket{0} \]

Tot slot is het goed om te weten dat \(\hat{a}_{+}\) en \(\hat{a}_{-}\) elkaars complex geconjugeerden zijn. Voor de bra-toestand \(\langle n|\) geldt dus:

\[ \bra{n} = \frac{1}{\sqrt{n!}}\bra{0}(\hat{a}_{-})^n, \]

\[ \bra{n}\hat{a}_{-} = \sqrt{n+1}\ \bra{n+1}, \hspace{10mm} \bra{n}\hat{a}_{+} = \sqrt{n}\ \bra{n-1} \]