Gekoppelde spins

Het is natuurlijk interessant om te kijken of je de Clebsch-Gordan coëfficiënten zelf kunt afleiden. Voor het systeem van twee gekoppelde spin-half deeltjes is dit helemaal niet zo moeilijk en levert inzicht in de werking van deze kwantummechanica.

Het is waarschijnlijk het makkelijkst om te beginnen in de basis \(\ket{s_1 s_2 m_1 m_2}\). Omdat elke deeltje 2 mogelijk toestanden heeft, levert dit vier toestanden op die we weergeven als: \(\ket{\uparrow\uparrow}\), \(\ket{\uparrow\downarrow}\), \(\ket{\downarrow\uparrow}\) en \(\ket{\downarrow\downarrow}\).

Let op: volgorde

Zoals je in het deel over het tensorproduct kan zien is het heel belangrijk om consistent dezelfde volgorde aan te houden. In onze tekst lopen we met het kwantumgetal \(l\) (of \(s\)) telkens van minimale naar maximale waarde en met het kwantumgetal \(m\) telkens van maximale naar minimale waarde.

Nu is echter de vraag hoe we de projectie van deze toestanden op de \(\ket{s_1 s_2 j m_j}\)-basis uitvoeren. Om dat te doen moet je een operator hebben die de toestanden van de \(\ket{j m_j}\)-basis als eigentoestand heeft. Dan kan je namelijk zien welke combinaties van de jou al bekende basis \(\ket{m_1 m_2}\) daarmee overeenkomen.

Als je terugkijkt naar de tekst over de Clebsch-Gordan coëfficiënten, dan zie je dat deze toestanden een constante meetwaarde leveren voor de \(z\)-component en voor de lengte van de het gecombineerde impulsmoment. Dat eerste gegeven is niet erg interessant: we weten toch al dat \(m_1+m_2=m_j\). Het tweede gegeven betekent echter dat de hoek tussen de twee individuele spinimpulsmomenten constant moet zijn, dus dat hun onderling inproduct constant is. Dus dat is de operator waar we naar moeten kijken! $$ \hat{\vec{S}}_1\cdot\hat{\vec{S}}_2=\hat{S}_{1x}\hat{S}_{2x}+\hat{S}_{1y}\hat{S}_{2y}+\hat{S}_{1z}\hat{S}_{2z} $$ Om met deze operator te kunnen werken, moeten we deze herschrijven naar een combinatie van ladderoperatoren: $$ \hat{\vec{S}}_1\cdot\hat{\vec{S}}_2=\frac{1}{2}\left( \hat{S}_{1+}\hat{S}_{2-}+\hat{S}_{1-}\hat{S}_{2+} \right) +\hat{S}_{1z}\hat{S}_{2z} $$

Afleiding

Om deze relatie af te leiden hoeven we alleen de ladderoperatoren te substitueren: \begin{align} \hat{\vec{S}}_1\cdot\hat{\vec{S}}_2&=\hat{S}_{1x}\hat{S}_{2x}+\hat{S}_{1y}\hat{S}_{2y}+\hat{S}_{1z}\hat{S}_{2z}\\ &=\frac{1}{2}\left(\hat{S}_{1+}+\hat{S}_{1-}\right)\frac{1}{2}\left(\hat{S}_{2+}+\hat{S}_{2-}\right)+\frac{1}{2i}\left(\hat{S}_{1+}-\hat{S}_{1-}\right)\frac{1}{2i}\left(\hat{S}_{2+}-\hat{S}_{2-}\right)+\hat{S}_{1z}\hat{S}_{2z}\\ &=\frac{1}{4}\left(\hat{S}_{1+}\hat{S}_{2+}+\hat{S}_{1+}\hat{S}_{2-}+\hat{S}_{1-}\hat{S}_{2+}+\hat{S}_{1-}\hat{S}_{2-}-\hat{S}_{1+}\hat{S}_{2+}+\hat{S}_{1+}\hat{S}_{2-}+\hat{S}_{1-}\hat{S}_{2+}-\hat{S}_{1-}\hat{S}_{2-}\right)+\hat{S}_{1z}\hat{S}_{2z}\\ &=\frac{1}{2}\left(\hat{S}_{1+}\hat{S}_{2-}+\hat{S}_{1-}\hat{S}_{2+}\right)+\hat{S}_{1z}\hat{S}_{2z}. \end{align}

Deze operatoren zijn allemaal netjes gedefinieerd voor de basis \(\ket{m_1 m_2}\) zodat we nu alle elementen van de operator kunnen bepalen voor de gekozen basis. Deze blijkt te zijn: $$ \hat{\vec{S}}_1\cdot\hat{\vec{S}}_2=\hbar^2\begin{pmatrix} \frac{1}{4}&0&0&0\\ 0&-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}&0\\ 0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}&0\\ 0&0&0&\frac{1}{4}\\ \end{pmatrix} $$

Afleiding

Zoals je in de paragraaf over de Hilbertruimte kunt lezen, wordt het element in de \(i\)-de rij en de \(j\)-de kolom gegeven door \(\braket{i|\hat{\vec{S}}_1\cdot\hat{\vec{S}}_2|j}\). Laten we als voorbeeld het element in de 3-de rij en de tweede kolom nemen. Met de volgorde waarin we de basis hebben gekozen berekenen we dan: $$ \begin{align} \Braket{\downarrow\uparrow|\frac{1}{2}\left( \hat{S}_{1+}\hat{S}_{2-}+\hat{S}_{1-}\hat{S}_{2+} \right) +\hat{S}_{1z}\hat{S}_{2z}|\uparrow\downarrow}&=\bra{\downarrow\uparrow}\left(\frac{\hbar^2}{2}(0+\ket{\downarrow\uparrow})-\frac{\hbar^2}{4}\ket{\uparrow\downarrow}\right)\\ &=\frac{\hbar^2}{2}\braket{\downarrow\uparrow|\downarrow\uparrow}-\frac{\hbar^2}{4}\braket{\downarrow\uparrow|\uparrow\downarrow}\\ &=\frac{\hbar^2}{2}. \end{align} $$ Je ziet dat je nu eigenlijk ook al het werk hebt gedaan voor het bepalen van het element in de 2-de rij en de 2-de kolom. Die kan je dus ook snel invullen.

let op: tensorproduct

Met kennis van het tensorproduct kan je de matrix voor \(\hat{\vec{S}}_1\cdot\hat{\vec{S}}_2\) heel snel bepalen. Dit kan met beide formules: $$ \begin{align} \hat{\vec{S}}\otimes\hat{\vec{S}}&=\hat{S}_x\otimes\hat{S}_x+\hat{S}_y\otimes\hat{S}_y+\hat{S}_z\otimes\hat{S}_z\\ &=\frac{1}{2}\left( \hat{S}_+\otimes\hat{S}_-+\hat{S}_-\otimes\hat{S}_+ \right) +\hat{S}_z\otimes\hat{S}_z \end{align} $$ Een van de termen staat als voorbeeld uitgewerkt.

De eigenvectoren van deze operator zijn dus de toestanden waarvoor het inproduct een constante waarde heeft, de hoek tussen de twee spinimpulsmomenten constant is, en de waarde voor het kwantumgetal \(j\) constant. Om deze eigentoestanden te vinden, hoeven we de matrix alleen te diagonaliseren. Wat je kan opvallen, is dat de eerste rij en kolom en de vierde rij en kolom al de vorm hebben van een diagonaalmatrix. Alleen de tweede en derde rij en kolom staan niet netjes diagonaal.

Als we de \(2\times2\) deelmatrix nemen van de tweede en derde rij en kolom dan vinden we de eigenwaarden: $$ \lambda_1=\frac{1}{4}\hbar^2 \qquad \text{en} \qquad \lambda_2=-\frac{3}{4}\hbar^2 $$

Afleiding

De eigenwaarden van de deelmatrix: $$ \begin{align} \begin{vmatrix} -\frac{\hbar^2}{4}-\lambda&\frac{\hbar^2}{2}\\ \frac{\hbar^2}{2}&-\frac{\hbar^2}{4}-\lambda \end{vmatrix}&=\left(-\frac{\hbar^2}{4}-\lambda\right)^2-\left(\frac{\hbar^2}{2}\right)^2=0\\ -\frac{\hbar^2}{4}-\lambda&=\pm\frac{\hbar^2}{2}\\ \lambda_1=\frac{\hbar^2}{4} \qquad &\vee \qquad \lambda_2=-\frac{3\hbar^2}{4} \end{align} $$

Met de bijbehorende eigenvectoren: $$ \vec{v}_1=\frac{1}{2}\left(\ket{\uparrow\downarrow}+\ket{\downarrow\uparrow}\right) \qquad \text{en} \qquad \vec{v}_2=\frac{1}{2}\left(\ket{\uparrow\downarrow}-\ket{\downarrow\uparrow}\right) $$

Afleiding

Bij de eerste eigenwaarde vinden we de eigenvector uit de vergelijking: $$ \hbar^2\begin{pmatrix} -\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&-\frac{1}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} =\frac{\hbar^2}{4}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}, $$ waarbij dus geldt \(a=b\). De eigentoestand is dus de som van de eerste toestand en de tweede toestand in de basis van deze \((2\times 2)\)-matrix. Nu is het heel belangrijk om dat terug te vertalen naar de basis waarmee we begonnen zijn. Dit waren namelijk de tweede en de derde toestand van de oorspronkelijke \((4\times 4)\)-matrix. De twee toestanden waar we het over hebben, zijn dus \(\ket{\uparrow\downarrow}\) en \(\ket{\downarrow\uparrow}\).

De toestand vervolgens normaliseren levert de eerste eigenvector. De tweede eigenvector vind je via een vergelijkbaar proces.

Kijken we naar \((4\times4)\)-matrix waarmee we begonnen zijn, dan heeft deze twee verschillende eigenwaarden. De waarde \(-3\hbar^2/4\) (niet ontaard) en de waarde \(\hbar^2/4\) (drievoudig ontaard). Dat de tweede drievoudig ontaard is, kan je zien aan de diagonaal elementen \((1,1)\) en \((4,4)\) die ook deze waarde hebben.

De drievoudig ontaarde eigenwaarde geldt dus voor drie eigentoestanden die allemaal dezelfde meetwaarde geven voor het inproduct. Dat zijn dus drie toestanden waarbij de hoek tussen de twee spinimpulsmomenten hetzelfde is. Dan is ook de lengte van het toale impulsmoment in deze drie gevallen hetzelfde. Dit moeten dan de toestanden \(\ket{j,m_j}\in\left\{\ket{1,1}, \ket{1,0}, \ket{1,-1}\right\}\) zijn. De enkelvoudig ontaarde eigenwaarde hoort bij de overgebleven toestand \(\ket{j,m_j}=\ket{0,0}\).

We hebben nu dus de operator \(\hat{\vec{S}}_1\cdot\hat{\vec{S}}_2\) uitgedrukt in een matrix voor de \(\ket{m_1, m_2}\)-basis en hier vervolgens de eigenwaarden en eigenvectoren voor bepaald. Aan de ontaarding en \(z\)-componenten voor deze toestanden kunnen we nu de toestanden uit de twee bases aan elkaar koppelen:

\(\ket{j, m_j}\)	\(\ket{m_1,m_2}\)	motivatie
\(\ket{1,+1}\)	\(\ket{\uparrow\uparrow}\)	drievoudig ontaard en \(m_1+m_2=+1\)
\(\ket{1,0}\)	\(\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{\uparrow\downarrow}+\ket{\downarrow\uparrow}\right)\)	drievoudig ontaard en \(m_1+m_2=0\)
\(\ket{1,-1}\)	\(\ket{\downarrow\downarrow}\)	drievoudig ontaard en \(m_1+m_2=-1\)
\(\ket{0,0}\)	\(\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{\uparrow\downarrow}-\ket{\downarrow\uparrow}\right)\)	enkelvoudig ontaard en \(m_1+m_2=0\)

Hiermee hebben we dus alle elementen \(\braket{j,m_j|m_1,m_2}\) bepaald en daarmee de Clebsch-Gordan coëfficiënten.