Commutatoren en eigenfuncties¶

We hebben gezien dat metingen de toestand van een systeem kunnen beïnvloeden in het vorige hoofdstuk. Het kan daarom van belang zijn in welke volgorde metingen worden uitgevoerd. Om hier meer inzicht in te krijgen, maken we gebruik van commutatoren. De commutator van twee operatoren $\hat{A}$ en $\hat{B}$ is gedefinieerd als: $$ \lbrack \hat{A},\hat{B} \rbrack = \hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A} $$ Het voelt misschien merkwaardig om een operator te zien zonder toestand waarop deze werkt, maar we hebben gezien dat een operator als matrix kan worden weergegeven en matrices kan je gewoon vermenigvuldigen.

De belangrijkste rekenregels voor commutatoren zijn:

$\lbrack\hat{A},a\rbrack=0$ voor alle scalairen $a$.
$\lbrack\hat{A},\hat{B}\hat{C}\rbrack=\hat{B}\lbrack\hat{A},\hat{C}\rbrack+\lbrack\hat{A},\hat{C}\rbrack\hat{B}$ en $\lbrack\hat{A}\hat{B},\hat{C}\rbrack=\hat{A}\lbrack\hat{B},\hat{C}\rbrack+\lbrack\hat{B},\hat{C}\rbrack\hat{A}$.
$\lbrack\hat{A}+\hat{B},\hat{C}\rbrack=\lbrack\hat{A},\hat{C}\rbrack+\lbrack\hat{B},\hat{C}\rbrack$ en $\lbrack\hat{A},\hat{B}+\hat{C}\rbrack=\lbrack\hat{A},\hat{B}\rbrack+\lbrack\hat{A},\hat{C}\rbrack$.
$\lbrack\hat{A},\hat{A}\rbrack=0$ en dus $\lbrack\hat{A},\hat{A}^n\rbrack=0$ en $\lbrack\hat{A},f(\hat{A})\rbrack=0$.

Van twee verschillende operatoren $\hat{A}$ en $\hat{B}$ wordt gezegd dat ze commuteren als $\lbrack\hat{A},\hat{B}\rbrack=0$. In dat geval maakt het dus niet uit in welke volgorde je de twee operatoren laat werken op een toestand. Als dit om hermitische operatoren gaat, betekent dit dat ze een gemeenschappelijke set (niet-triviale) eigentoestanden moeten hebben.

Bewijs

Stel dat $\psi_a$ een eigentoestand is van de hermitische operator $\hat{A}$ met $$ \hat{A}\ket{\psi_a}=a\ket{\psi_a}. $$ Dan kan je dus zeggen: $$ \hat{B}\hat{A}\ket{\psi_a}=\hat{B}a\ket{\psi_a}=a\hat{B}\ket{\psi_a}. $$ Maar, omdat $\hat{A}$ en $\hat{B}$ commuteren, geldt $\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}$, zodat ook moet gelden dat: $$ \hat{A}\hat{B}\ket{\psi_a}=a\hat{B}\ket{\psi_a}. $$ Als $\ket{\psi_a}$ de enige toestand is met eigenwaarde $a$, dan lees je in de laatste regel dat $\hat{B}\ket{\psi_a}$ ook een eigenvector is van $\hat{A}$. $\hat{B}\ket{\psi_a}$ moet dus een veelvoud zijn van $\ket{\psi_a}$. Dat is exact hetzelfde als de uitspraak dat $\ket{\psi_a}$ een eigenfunctie is van $\hat{B}$.

let op

Als $\ket{\psi_a}$ niet de enige toestand is met eigenwaarde $a$ voor operator $\hat{A}$, dan gaat deze redenering niet op.

Stel je voor dat $\hat{A}\ket{\psi_{a1}}=a\ket{\psi_{a1}}$ en ook $\hat{A}\ket{\psi_{a2}}=a\ket{\psi_{a2}}$. Dan weet je zeker dat elke mogelijke superpositie van $\ket{\psi_{a1}}$ en $\ket{\psi_{a2}}$ een eigentoestand van $\hat{A}$ is met dezelfde eigenwaarde $a$.

De formule $\hat{A}\hat{B}\ket{\psi}=a\hat{B}\ket{\psi}$ betekent dan nog steeds dat $\hat{B}\ket{\psi}$ in bovenstaande afleiding een eigenfunctie is van \hat{A}, maar je weet niet precies voor welke lineaire superpositie dit geldt. Het hoeft dan niet meer voor alle superposities te gelden.

Als we een meting doen aan de observabele $\mathcal{A}$ en we krijgen de meetwaarde $a$, dan weten we alleen voor de niet-ontaarde gevallen precies in welke eigentoestand het systeem zich bevindt. Als de eigenwaarde ontaard is, kan het systeem in een willekeurige superpositie van deze ontaarde toestanden zitten, omdat dat allemaal eigentoestanden zijn van de operator $\hat{A}$.

Als we daarna de observabele $\mathcal{B}$ meten, waarvan de operator $\hat{B}$ commuteert met $\hat{A}$ en we vinden een meetwaarde $b$, dan weten we dat de toestand na de meting behoort tot de deelruimte met eigenwaarde $a$ voor operator $\hat{A}$ en de deelruimte met eigenwaarde $b$ voor operator $\hat{B}$.

Conclusie: er is een set onderling commuterende grootheden $\lbrace\hat{A},\hat{B},\hat{C},...\rbrace$ waarvoor de toestand niet meer ontaard kan zijn. De toestand voor een gegeven combinatie van van meetwaarden is dan precies bekend. In dat geval heet deze set operatoren 'compleet'. De set eigenwaarden vormen dan 'goede' quantumgetallen die elke toestand uniek identificeert.

Let op

Een complete set commuterend observabelen is niet uniek, net zoals er geen unieke basis is om een ruimte mee op te spannen.