H-atoom¶
Het waterstofatoom is met één proton en één elektron het meest eenvoudige atoom. Omdat het proton (de atoomkern) vele malen zwaarder is dan het elektron, kunnen we dit systeem nog verder vereenvoudigen tot een puntmassa dat zich bevindt in de bolvormige Coulombpotentiaal rondom een statische kern.
Ondanks deze eenvoud is het waterstofatoom verrassend lastig om analytisch op te lossen. Maar het is zeker de moeite waard. Want weten we eenmaal de toestanden waarin het elektron zich kan bevinden, dan is de stap naar complexere atomen relatief klein. De kernlading en het aantal elektronen kunnen variëren, maar de vorm van de toestanden zal niet veranderen. Dus hoewel we het hier steeds hebben over 'het H-atoom', kun je min of meer stellen dat we eigenlijk werken aan een quantummechanische beschrijving van 'het atoom'.
De volledige afleiding voor het H-atoom wordt behandeld in hoofdstuk 4 in Griffiths. Hier vatten we alleen de belangrijkste conclusies samen.
Het ligt bij dit probleem voor de hand om te werken met bolcoördinaten
We maken de aanname dat de golffunctie opsplitsbaar is in een radiëel deel en een hoekafhankelijk deel:
Dit stelt ons in staat om ook de Schrödingervergelijking op te splitsen in een radiële en een hoekafhankelijke vergelijking. Omdat de potentiaal niet afhangt van de hoekcoördinaten
Hierbij zijn
De functies
Het radiële deel van de golffunctie ziet er als volgt uit.
Hierbij zijn
Wat opvalt is dat de radiële golffunctie afhangt van quantumgetallen
Samenvattend kunnen we stellen dat in termen van quantumgetallen geldt:
Nu we de golffuncties hebben, ontbreekt alleen nog de energie. Aangezien de potentiaal enkel afhangt van
Dit is Bohr formule. Invullen van de constanten geeft