H-atoom

Het waterstofatoom is met één proton en één elektron het meest eenvoudige atoom. Omdat het proton (de atoomkern) vele malen zwaarder is dan het elektron, kunnen we dit systeem nog verder vereenvoudigen tot een puntmassa dat zich bevindt in de bolvormige Coulombpotentiaal rondom een statische kern.

Ondanks deze eenvoud is het waterstofatoom verrassend lastig om analytisch op te lossen. Maar het is zeker de moeite waard. Want weten we eenmaal de toestanden waarin het elektron zich kan bevinden, dan is de stap naar complexere atomen relatief klein. De kernlading en het aantal elektronen kunnen variëren, maar de vorm van de toestanden zal niet veranderen. Dus hoewel we het hier steeds hebben over 'het H-atoom', kun je min of meer stellen dat we eigenlijk werken aan een quantummechanische beschrijving van 'het atoom'.

De volledige afleiding voor het H-atoom wordt behandeld in hoofdstuk 4 in Griffiths. Hier vatten we alleen de belangrijkste conclusies samen.

Het ligt bij dit probleem voor de hand om te werken met bolcoördinaten \(r\), \(\theta\) en \(\phi\). Dankzij de bolvormige symmetrie van de Coulomb potentiaal, hangt deze enkel af van het coördinaat \(r\):

\[ V(r) = -\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0}\frac{1}{r} \]

We maken de aanname dat de golffunctie opsplitsbaar is in een radiëel deel en een hoekafhankelijk deel:

\[ \psi(r, \theta, \phi) = R(r)Y(\theta, \phi) \]

Dit stelt ons in staat om ook de Schrödingervergelijking op te splitsen in een radiële en een hoekafhankelijke vergelijking. Omdat de potentiaal niet afhangt van de hoekcoördinaten \(\theta\) en \(\phi\), zijn de oplossingen van de hoekafhankelijke vergelijking 'gewoon' de spherisch harmonische:

\[ Y_l^m(\theta, \phi) = \sqrt{ \frac{(2l+1)}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!} } e^{im\phi} P_l^m(\cos{\theta}) \]

Hierbij zijn \(P_l^m(\cos{\theta})\) de zogeheten Legendre functies (zie tabel 4.2 in Griffiths). De quantumgetallen \(l\) en \(m\) bepalen samen het impulsmoment van het elektron.

De functies \(Y_l^m(\theta, \phi)\) geven de golffuncties de karakteristieke lobbenstructuur die we kennen van orbitalen. Het quantumgetal \(l\) bepaalt hierbij hoeveel knopen we (maximaal) tegenkomen als we een cirkelvormige baan voltooien rondom één van de primaire assen. Orbitalen met \(l=0, 1, 2\) en \(3\) noemen we respectievelijk s, p, d en f-orbitalen. Het quantumgetal \(m\) bepaalt hoe het orbitaal georiënteerd is in de ruimte.

Het radiële deel van de golffunctie ziet er als volgt uit.

\[ R_{nl}(r) = \sqrt{ \left(\frac{2}{na}\right)^3\frac{(n-l-1)!}{2n(n+l)!} } e^{-r/na} \left(\frac{2r}{na}\right)^l \left[L_{n-l-1}^{2l+1}\left(\frac{2r}{na}\right)\right] \]

Hierbij zijn \(L_{n-l-1}^{2l+1}\) de (associated) Laguerre polynomen (zie tabel 4.5 in Griffiths).

Wat opvalt is dat de radiële golffunctie afhangt van quantumgetallen \(n\) en \(l\), waarbij geldt dat \(n=1, 2, ...\) en \(l<n\). Het quantumgetal \(n\) geeft het aantal knopen in radiële richting aan: tussen \(r=0\) en \(r=\infty\) heeft de golffunctie \(n-1\) knopen.

Samenvattend kunnen we stellen dat in termen van quantumgetallen geldt:

\[ \psi_{nlm} = R_{nl}Y_l^m \]

Nu we de golffuncties hebben, ontbreekt alleen nog de energie. Aangezien de potentiaal enkel afhangt van \(r\), valt te verwachten dat de energie wordt bepaald door het radiële deel van de golffunctie en dus enkel afhangt van quantumgetallen \(n\) en \(l\). De afhankelijkheid van \(l\) blijkt echter weg te vallen:

\[ E_n = -\left[ \frac{m_e}{2\hbar^2}\left(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\right)^2 \right]\frac{1}{n^2} = \frac{E_1}{n^2} \]

Dit is Bohr formule. Invullen van de constanten geeft \(E_1 = -13.6~\)eV.